Vamos considerar o conjunto das potências de 2 com o expoente variando desde 1 até 1.000.000. De fato um pouco mais de 30%delas começam com o algarismo 1 ( à esquerda ) no sistema decimal. Para mim é um fato surpreendente.<br />Comecemos examinando algumas potências de 2 que começam com o algarismo 1: e elevado a zero é 1, 2 elevado a 4 é 16,<br />2 elevado a 7 é 128, 2 elevado a 10 é 1024, 2 elevado a 14 é 16384, etc. Ao que parece para cada número inteiro não negativo existe exatamente uma potência de 2 que começa por 1 e tem esse número de dígitos. Assim é de fato. Dado um número inteiro positivo k seja n o maior inteiro positivo tal que 2^n ( significa 2 elevado ao expoente n ) é menor do que 10^k. <br />Temos: 2^n<10^k e n é máximo, assim 2^n<10^k<2^(n+1)=<br />2x2^n<2x10^k. Isso significa que 2^(n+1) é a única potência de 2 que tem k algarismos e começa com 1.<br />Pois bem, agora basta descobrir com quantos algarismo se escreve 2^1.000.000 no sistema decimal. Usando logaritmos decimais e uma calculadora encontramos facilmente que esse número é 301.030. Dessa forma usamos, no máximo, esse número de algarismos para escrever qualquer potência de 2 com o expoente entre 1 e 1.000.000 e, como sabemos que para cada k entre 1 e 301.030 temos exatemente uma potência de 2 com k algarismos e começando com 1 temos a proporção de 301.030<br />para 1.000.000 potências de 2 começando por 1. Isso dá um pouco mais de 30% delas. Há muita informação sobre o assunto<br />na Internet e em livros, por exemplo, Problem-Solving Trough Problems de Loren C. Larson, Editora Springer.<br />Um abraço do colega Emerêncio Piolla.

Olá caros colegas do Clube Virtual de Matemática. Que ótimo estarmos de volta!Vejam que belo probleminha de geometria plana para nossos alunos ( acho que é de alguma prova da Escola Naval ).Consideremos um triângulo retânculo ABC, ângulo reto no vértice A. Sobre a hipotenusa BC são marcados dois pontos M e N que a dividem em três partes congruentes. Dado que AM=2 e AN=3 pede-se calcular a medida do segmento MN.Vale a pena gastar alguns minutos para resolvê-lo e, depois, propô-lo para nossos alunos. Um abraço do colega Emerêncio Piolla.

Que ótima notícia a cara Sílvia nos manda! Finalmente poderemos continuar nossas discussões nesse excelente espaço!
Animem-se e mandem notícias e novidades.
Um abraço do colega
Jayro Bedoff

Olá caros colegas do Clube.
Acho que todos nós já ouvimos falar da magnífica distribuição de Bendford ( na wikipedia tem bastante material interessante para ser lido ) , pois bem, um caso que está ao alcance do entendimen-
to dos alunos do nosso ensino médio é o seguinte:
Considere as potências de 2 desde 2 até 2 elevado a 1000000.
Mostre que pelo menos 30% desses números, escritos em notação decimal, começam com o algarismo 1.
Não é algo surpreendente? Pelo menos para mim foi.
Penso que esse tipo de questão acompanhada de uma recomendação de leitura na wikipedia é um execelente exemplo sério de interdisciplinaridade. Devemos abominar as tentativas que beiram o ridículo quando se fala em interdisciplinaridade, tão comuns até em provas de vestibulares de universidades de grande prestígio social.
Espero que os colegas apresentem suas resoluções. Vale a pena.
Um abraço do colega Emerêncio Piolla.

Caros colegas desse Clube Virtual de Matemática vamos reiniciar nossa troca de ideias para 2009. Aqui vai um pequeno probleminha para motivar nossos alunos:

Escreva a raiz quadrade de 2009 como uma soma de duas raízes quadradas de números inteiros e positivos. Denotando a raiz quadrada de x por sqrt(x) o que se pede é encontrar naturais positivos p e q tais que sqrt(2009)= sqrt(p) + sqrt(q).
Não é difícil encontrar algumas soluções.
Espero que os colegas apreciem e apresentem resoluções.
Um abraço do colega Baltazar Jarrão.